প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার একটি continued fraction আছে: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯))। এখানে a₁, a₂, a₃, … হলো partial quotient। π-এর জন্য এগুলো 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… আর √2-এর জন্য 1; 2, 2, 2, 2, 2… (পর্যায়ক্রমিক, সবই 2)। 1934 সালে খিনচিন প্রমাণ করেন যে প্রায় সব বাস্তব সংখ্যার জন্য এই partial quotient-গুলোর geometric mean একই ধ্রুবক K₀ ≈ 2.68545-এ অভিসারিত হয়।
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2))। এলোমেলো বাস্তব সংখ্যার continued fraction expansion-এ partial quotient 1 প্রায় 41% ক্ষেত্রে দেখা যায়।
K₀-এর সূত্র হলো K₀ = ∏(k=1 to ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), যা অত্যন্ত ধীরে অভিসারিত হয়। খিনচিনের উপপাদ্য “প্রায় সব” সংখ্যার জন্য সত্য—কিন্তু কোনো নির্দিষ্ট বিখ্যাত ধ্রুবকের জন্য এটি সত্য কি না, তা আমরা দেখাতে পারিনি। অর্থাৎ, উপপাদ্য মানা একটি একক নিশ্চিত উদাহরণও আমরা নাম করে বলতে পারি না।
k=3-এর মধ্যেই দুই-তৃতীয়াংশের বেশি partial quotient ধরা পড়ে। ধীরে ধীরে এটি 1-এর দিকে যায়।
1-এর আধিপত্য (প্রায় 41.5%) ব্যাখ্যা করে কেন K₀ ≈ 2.685, যা 3-এর চেয়েও ছোট: ছোট মানগুলো geometric mean-কে নিচের দিকে টেনে আনে। যদি 1 থেকে 9 পর্যন্ত সব digit সমান সম্ভাবনায় আসত, তবে geometric mean হতো (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15। কিন্তু 1 এত বেশি আসে বলেই K₀ অনেক ছোট।
খিনচিনের ধ্রুবক K₀ ≈ 2.68545। প্রায় সব বাস্তব সংখ্যার continued fraction expansion-এ partial quotient-গুলোর geometric mean এই মানে পৌঁছায়। 1934 সালে খিনচিন এটি প্রমাণ করেন। partial quotient 1 প্রায় 41% ক্ষেত্রে আসে, তাই mean তুলনামূলকভাবে ছোট। সূত্রটি অসীম গুণনফল হিসেবে লেখা যায় এবং খুব ধীরে converge করে। এটি “প্রায় সব” সংখ্যার ওপর একটি গভীর মেট্রিক ফলাফল, কিন্তু কোনো নির্দিষ্ট পরিচিত ধ্রুবকের জন্য তা প্রমাণ করা কঠিন।