ধারাবাহিক ভগ্নাংশে একটি সংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা এবং আরেকটি ধারাবাহিক ভগ্নাংশের ব্যস্তকের যোগ হিসেবে লেখা হয়। প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার একটি একক ধারাবাহিক ভগ্নাংশ বিস্তার আছে। মূলদ সংখ্যা সসীমে শেষ হয়; quadratic irrational সংখ্যাগুলি পর্যায়ক্রমিক হয়; π-এর মতো অতীন্দ্রিয় সংখ্যায় কোনো স্পষ্ট প্যাটার্ন নেই। কনভার্জেন্টগুলো—অর্থাৎ নির্দিষ্ট জায়গায় কেটে পাওয়া মূলদ মান—প্রমাণসাপেক্ষে ঐ আকারের হরের মধ্যে সেরা approximation দেয়।
φ, √2, e এবং π-এর ধারাবাহিক ভগ্নাংশের তুলনামূলক সারণি, যেখানে কোনটি পর্যায়ক্রমিক আর কোনটি অনিয়মিত তা দেখা যায়।
| ধ্রুবক | CF-নোটেশন | ধরন |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | পর্যায়ক্রমিক |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | পর্যায়ক্রমিক |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | পর্যায়ক্রমিক |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | প্যাটার্নযুক্ত |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | কোনো প্যাটার্ন নেই |
| উপপাদ্য: একটি ধারাবাহিক ভগ্নাংশ তখনই পর্যায়ক্রমিক হয় যখন সংখ্যাটি quadratic irrational (Lagrange, 1770) | ||
| phi-কে approximation করা সবচেয়ে কঠিন: সব 1-এ গঠিত এর ধারাবাহিক ভগ্নাংশ সবচেয়ে ধীর অভিসৃতি দেয় |
π-এর কনভার্জেন্টগুলোর সারণি, যেখানে ছোট হর দিয়ে ক্রমশ আরও নির্ভুল মূলদ approximation দেখা যায়।
| কনভার্জেন্ট | দশমিক মান | ত্রুটি |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 মাত্র তিন অঙ্কের হর দিয়ে 6 দশমিক স্থান পর্যন্ত সঠিক |
কনভার্জেন্ট 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 পর্যায়ক্রমে π-এর উপরে ও নিচে থাকে। প্রতিটি তার হর বা তার চেয়ে ছোট হরের মধ্যে সেরা মূলদ approximation।
প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার একটি একক ধারাবাহিক ভগ্নাংশ বিস্তার আছে। মূলদ সংখ্যার বিস্তার সসীম। quadratic irrational সংখ্যা (যেমন √2 ও φ)-এর বিস্তার শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক হয়। π-এর মতো অতীন্দ্রিয় সংখ্যায় স্পষ্ট কোনো প্যাটার্ন নেই। ধারাবাহিক ভগ্নাংশের কনভার্জেন্টগুলো সেরা মূলদ approximation দেয়: 22/7 ও 355/113 হলো π-এর কনভার্জেন্ট, যেগুলো যথাক্রমে 2 এবং 6 দশমিক স্থান পর্যন্ত মিলে যায়। φ = [1; 1, 1, 1, ...] সংখ্যাটি approximation করা সবচেয়ে কঠিন, তাই একে সুনির্দিষ্ট অর্থে সবচেয়ে “অমূলদ” বলা হয়।