পাই হলো যে কোনো বৃত্তের পরিধি ও তার ব্যাসের অনুপাত। বৃত্ত যত বড় বা ছোটই হোক, এই অনুপাত সব সময় একই থাকে: π = 3.14159265358979... সংজ্ঞাটি জ্যামিতিক, কিন্তু পাই পদার্থবিদ্যা, সম্ভাবনা, ক্যালকুলাস এবং তরঙ্গ-তত্ত্বে বারবার দেখা যায়।
পাইকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায় না—এটি 1761 সালে জোহান হাইনরিখ ল্যাম্বার্ট প্রমাণ করেন। এটি ট্রান্সসেনডেন্টালও: অর্থাৎ কোনো পূর্ণসংখ্যা-সহগযুক্ত বহুপদী সমীকরণের মূল নয়। 1882 সালে লিন্ডেম্যান এটি প্রমাণ করেন।
সিরাকিউজের আর্কিমিডিস (~250 BCE) প্রথম কঠোরভাবে পাইকে সীমাবদ্ধ করেন। তিনি অঙ্কিত ও বহিঃবেষ্টিত বহুভুজ ব্যবহার করে দেখান যে পাই 3+10/71 এবং 3+1/7-এর মাঝখানে। পরে অসীম ধারা, গুণনফল ও কম্পিউটার অ্যালগরিদম পাই-এর আরও সুনির্দিষ্ট মান দেয়।
পাই শুধু বৃত্তেই নয়; স্বাভাবিক বণ্টন, অয়লারের অভেদ e^(iπ)+1=0, মৌলিক সংখ্যার সম্ভাবনা, ফুরিয়ার বিশ্লেষণ, তরঙ্গ, কম্পন ও কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যায়ও দেখা যায়।
π ≈ 3.14159265358979323846। অমূলদ (ল্যাম্বার্ট, 1761), ট্রান্সসেনডেন্টাল (লিন্ডেম্যান, 1882)। পাই দিবস 14 মার্চ। 22/7 একটি ভালো আনুমানিক মান, কিন্তু এটি ঠিক π নয়।
আর্কিমিডিস 96-বাহুবিশিষ্ট বহুভুজ ব্যবহার করে 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 দেখিয়েছিলেন। তিনি π গণনা করেননি; তাকে সীমার মধ্যে বেঁধেছিলেন।
পাই is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the লাইবনিজ সূত্র.