যে কোনো সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের উপর নির্মিত বর্গের ক্ষেত্রফল অন্য দুই বাহুর উপর নির্মিত বর্গদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান। যদি দুই লম্ব বাহু a ও b এবং অতিভুজ c হয়, তবে a² + b² = c²।
a² + b² = c²। 3-4-5 ত্রিভুজের জন্য: 9 + 16 = 25। নীল ও লাল বর্গের ক্ষেত্রফল একত্রে সবুজ বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান।
1900 BCE-এর ব্যাবিলনীয় মাটির ফলকে পিথাগোরীয় ত্রয়ী যেমন (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) পাওয়া যায়। এতে বোঝা যায়, ফলটি পিথাগোরাসের অনেক আগেই অভিজ্ঞতাভিত্তিকভাবে জানা ছিল। পিথাগোরীয় বিদ্যালয় (প্রায় 570 BCE) প্রথম প্রমাণ দেয়। আজ পর্যন্ত 370টিরও বেশি প্রমাণ জানা গেছে।
পিথাগোরীয় ত্রয়ীর সারণি
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
n মাত্রায় মূলবিন্দু থেকে (x₁, x₂, …, xₙ)-এর দূরত্ব হলো √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²)। Andrew Wiles 1995 সালে Fermat-এর শেষ উপপাদ্য প্রমাণ করেন, যা দেখায় n > 2 হলে aⁿ + bⁿ = cⁿ-এর কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সমাধান নেই।
দুটি বড় বর্গই (a+b)×(a+b)। দুটিতেই চারটি একই সমকোণী ত্রিভুজ আছে। বাম দিকে অবশিষ্ট অংশ c², আর ডান দিকে অবশিষ্ট অংশ a²+b²। তাই তারা সমান।
যে কোনো সমকোণী ত্রিভুজে a^2 + b^2 = c^2। ব্যাবিলনীয়রা 1800 BCE-এর মধ্যেই এটির উদাহরণ জানত; প্রায় 570 BCE-তে পিথাগোরীয়রা প্রথম প্রমাণ দেয়। জ্যামিতি, দূরত্ব, ভেক্টর এবং পদার্থবিদ্যার বহু সূত্র এর ওপর দাঁড়িয়ে আছে।