টেলর ধারা যেকোনো মসৃণ ফাংশনকে একটি অসীম বহুপদী হিসেবে প্রকাশ করে। প্রতিটি সহগ একটি ডেরিভেটিভ থেকে আসে: n-তম পদ হলো f⁽ⁿ⁾(a)/n! গুণিত (x-a)ⁿ। eˣ, sin(x) ও cos(x)-এর মতো সুন্দর ফাংশনের জন্য এই ধারা ফাংশনটিকে পুরোপুরি পুনর্গঠন করে।
প্রতিটি নতুন পদ সন্নিকটমানকে আরও দূর পর্যন্ত প্রসারিত করে। আরও পদ যোগ করলে: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ তিনটি Maclaurin ধারা: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯; sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯; cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯। এগুলো ক্যালকুলাস, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ও কম্পিউটিংয়ে কেন্দ্রীয় ভূমিকা রাখে।
Maclaurin ধারার সারণি
| f(x) | ধারা | ব্যাসার্ধ |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor 1715 সালে সাধারণ উপপাদ্যটি প্রকাশ করেন; a=0-কে কেন্দ্র করে বিশেষ ক্ষেত্রটি Colin Maclaurin 1742 সালে জনপ্রিয় করেন। প্রতিটি ক্যালকুলেটর ও কম্পিউটার transcendental function গণনার জন্য টেলর ধারা ব্যবহার করে। ত্রুটি পরবর্তী অবশিষ্ট পদ দিয়ে পরিমাপ করা যায়।
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … প্রতিটি জোড়া পদ আরও একটি স্তরের নির্ভুলতা যোগ করে।
টেলর ধারা একটি মসৃণ ফাংশনকে অসীম বহুপদী হিসেবে প্রকাশ করে: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...। সহগগুলো ডেরিভেটিভ থেকে আসে। এটি আধুনিক সংখ্যাত্মক বিশ্লেষণ, পদার্থবিদ্যা ও প্রকৌশলের কেন্দ্রবিন্দু।