কোনো সংখ্যা অমূলদ, যদি সেটিকে p/q আকারে লেখা না যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা। এর দশমিক সম্প্রসারণ শেষ হয় না এবং পুনরাবৃত্তিও করে না। √2, π, e এবং φ—সবই অমূলদ। এগুলো কোনো বিরল ব্যতিক্রম নয়; বাস্তব সংখ্যার বিপুল অংশই অমূলদ।
নীল: rational সংখ্যা (ঠিক ভগ্নাংশ)। লাল: irrational সংখ্যা (অপুনরাবৃত্ত দশমিক)। যে কোনো দুই rational-এর মাঝখানে একটি irrational আছে, এবং উল্টোও সত্য।
সমাপ্ত বা পুনরাবৃত্ত দশমিকযুক্ত rational সংখ্যা বনাম অপুনরাবৃত্ত, অসীম irrational সংখ্যার তুলনামূলক সারণি
| ধরন | উদাহরণ | দশমিক রূপ |
|---|---|---|
| rational | 1/8 | 0.125 (সমাপ্ত) |
| rational | 1/3 | 0.333… (পুনরাবৃত্ত) |
| irrational | √2 | 1.4142135… |
| irrational | π | 3.1415926… |
Rational সংখ্যা অসীম হলেও তালিকাভুক্ত করা যায়। Irrational সংখ্যা তালিকাভুক্ত করা যায় না। এলোমেলোভাবে একটি বাস্তব সংখ্যা নিলে rational হওয়ার সম্ভাবনা ঠিক শূন্য।
কোনো সংখ্যা তখনই অমূলদ, যখন সেটিকে পূর্ণসংখ্যা p ও q-এর ভগ্নাংশ p/q আকারে লেখা যায় না। এর দশমিক রূপ শেষ হয় না এবং পুনরাবৃত্তও হয় না। পিথাগোরিয়ানরা আনুমানিক খ্রিস্টপূর্ব 500 সালে √2 যে অমূলদ তা প্রমাণ করেন—তৎকালীন সময়ে এটি ছিল এক ধাক্কা। 1761 সালে Lambert π-এর অমূলদতা এবং 1737 সালে Euler e-এর অমূলদতা প্রমাণ করেন। অধিকাংশ বাস্তব সংখ্যাই অমূলদ: rational সংখ্যা countable হলেও irrational সংখ্যা uncountable, তাই এলোমেলোভাবে একটি বাস্তব সংখ্যা বেছে নিলে তা rational হওয়ার সম্ভাবনা শূন্য। Algebraic irrational সংখ্যা polynomial equation মেনে চলে, transcendentals তা মানে না।