বাসেল সমস্যা জিজ্ঞেস করে: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ ধারার সঠিক মান কত? ধারা অভিসারী, কিন্তু কোন মানে? পিয়েত্রো মেনগোলি 1650 সালে প্রশ্নটি তুলেছিলেন। 84 বছর ধরে এটি অমীমাংসিত ছিল, অবশেষে 1734 সালে 28 বছর বয়সে ইউলার সমাধান করেন।
আংশিক যোগফল ধীরে ধীরে π²/6 ≈ 1.6449-এর দিকে যায়। 1734 সালে ইউলার দেখান যে সীমামানটি π²/6, ফলে বিশ্লেষণ ও জ্যামিতির মধ্যে সংযোগ স্থাপিত হয়।
ইউলারের প্রমাণে sin(x)/x-এর টেলর শ্রেণীকে তার শূন্যবিন্দু ±π, ±2π, ±3π…-এর উপর একটি অসীম গুণনফল হিসেবে বিশ্লেষণ করা হয়। গুণনফলের x² সহগকে টেলর সহগের সঙ্গে তুলনা করলে সরাসরি Σ 1/n² = π²/6 পাওয়া যায়। এটি গণিতের সবচেয়ে প্রসিদ্ধ হিসাবগুলোর একটি, এবং এখানে π-এর উপস্থিতি কাকতালীয় নয়: রিমান জিটা ফাংশনের মাধ্যমে বৃত্ত ও গোলকের সঙ্গে পূর্ণসংখ্যার যোগফলের গভীর সম্পর্ক রয়েছে।
প্রতিটি পদ 1/n^2 দ্রুত ছোট হয়। এদের যোগফল ঠিক pi^2/6 ~ 1.6449-এ অভিসারিত হয়।
এই ফলটি আরও সাধারণভাবে সত্য: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, এবং সব জোড় জিটা-মানই π-এর ঘাতের মূলদ গুণিতক। বিজোড় মান ζ(3), ζ(5), ζ(7)… অনেক বেশি রহস্যময়। অ্যাপেরি 1978 সালে দেখিয়েছিলেন যে ζ(3) অমূলদ, কিন্তু π-এর সাহায্যে এর কোনো বন্ধ রূপ জানা নেই।
দুটি এলোমেলো পূর্ণসংখ্যার মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকার (অর্থাৎ পরস্পর সহমৌলিক হওয়ার) সম্ভাবনা ঠিক 6/pi^2, যা pi^2/6-এর বিপরীত। এর মান প্রায় 60.8%। এতে বাসেল সমস্যার সঙ্গে সংখ্যা তত্ত্ব ও সম্ভাবনার সরাসরি সম্পর্ক তৈরি হয়।