格尔丰德常数就是 e 的 π 次幂，近似值为 23.14069263277927… 证明它是超越数，正是希尔伯特在 1900 年列出的 23 个重要未解问题中的第七题。Alexander Gelfond 在 1934 年解决了这个问题。
e^π 非常接近 23，但仍差了约 0.14。另一个更接近的巧合是 e^π − π ≈ 19.999，不过目前并没有已知的数学意义。
1934 年的格尔丰德-施奈德定理指出：如果 a 是代数数且不等于 0 或 1，b 是代数无理数，那么 a^b 一定是超越数。格尔丰德常数满足 e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i)。这里 a = −1 是代数数，b = −i 也是代数无理数，因此该定理可以直接应用。
通过格尔丰德-施奈德定理证明为超越数的一些例子。
| 表达式 | a | b | 结果 |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | 超越数 |
| 2^√2（希尔伯特） | 2 | √2 | 超越数 |
| √2^√2 | √2 | √2 | 超越数 |
数值上的近似 e^π − π ≈ 19.9990999 并没有已知的数学解释。它很可能只是巧合，但历史上类似的巧合，例如拉马努金常数，后来有时会显露出深层原因。e^π 已被计算到数百万位小数：23.14069263277926900572908636794854738…
事实上 e^π > π^e。这一点无需计算器也能证明：函数 x^(1/x) 在 x=e 处达到最大值，因此 e^(1/e) > π^(1/π)，从而推出 e^π > π^e。
格尔丰德常数 e^pi ≈ 23.14069。证明它是超越数，正是 1900 年希尔伯特第七问题的内容。格尔丰德在 1934 年解决了这一问题：如果 a 是代数数且不为 0 或 1，而 b 是代数无理数，那么 a^b 必为超越数。因为 e^pi = (-1)^(-i)，而 -1 与 -i 都是代数数，其中 -i 同时又是无理数，所以该定理可以直接套用。至于 e^pi - pi ≈ 19.999 这一巧合，目前仍没有已知的数学解释。