每个实数都有“最佳”的有理逼近，也就是一列分数 p/q，它们对 x 的逼近优于所有分母更小的分数。这些逼近的分母 q₁、q₂、q₃、… 会不断增长。但增长速度是多少？Paul Lévy 在 1935 年证明：对几乎每一个实数，qₙ^(1/n) 会收敛到 e^β ≈ 3.27582，其中 β = π²/(12 ln 2)。
对几乎所有实数，ln(qₙ) 都会以斜率 β ≈ 1.1865 近似线性增长。π 的渐近分数分母（1、7、106、113、33102…）平均增长更快，因为其中出现了异常大的部分商 292。
黄金比例 φ = [1;1,1,1,…] 的分母是斐波那契数 1、1、2、3、5、8、13、…，每一步只按 φ ≈ 1.618 的速率增长。这比 e^β ≈ 3.276 慢得多。也正因此，φ 被称为“最难被有理数逼近”的数，也就是最“无理”的数。大多数数的分母增长要快得多，其典型速率就是 e^β。
比较黄金比例与典型实数的渐近分数分母增长率。
| φ = [1;1,1,1,…] | 典型实数 |
|---|---|
| qₙ 按 φⁿ ≈ 1.618ⁿ 增长 | qₙ 按 (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ 增长 |
| 尽可能慢的增长 | 勒维定理给出的典型增长 |
β = π²/(12 ln 2) 这个值来自对高斯-库兹明分布的积分。ln 2 来自二进制计算，而 π² 则来自与 ζ(2) = π²/6 相同的来源。勒维常数 β 的数值为 1.1865691104156254…，而 e^β = 3.275822918721811159787681882…
第 5 步的部分商 292 让 π 的分母增长明显快于平均水平。对“典型”实数而言，ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187。
| n | 部分商 aₙ | 渐近分数 pₙ/qₙ | 分母 qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0,00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0,97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1,55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1,19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2,52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1,74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1,54 |
勒维常数 β = π²/(12 ln 2) ≈ 1.18657。对几乎每个实数，其第 n 个渐近分数的分母 qₙ 都满足 qₙ^(1/n) → e^β ≈ 3.27582。Paul Lévy 于 1935 年证明了这一点。黄金比例的斐波那契分母及其增长率 φ ≈ 1.618 远低于这个平均水平，也正因此进一步印证了它“最难被有理逼近”的名声。在这个公式里，π 与 ln 2 通过高斯-库兹明分布联系在了一起，把圆的几何和对数理论连接起来。