黎曼ζ函数定义为 ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯。欧拉研究了它在实数上的版本，并发现 ζ(2) = π²/6（即巴塞尔问题的答案），还得到了 ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ)（对所有素数取乘积）的公式。黎曼则在 1859 年那篇里程碑式论文中，把它推广到了复数。
ζ 函数在一些整数点上的典型取值。
| s | ζ(s) | 精确形式 |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | 未知，Apéry |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | 平凡零点 |
黎曼最关键的洞见是：把 ζ(s) 延拓到复数 s 后，非平凡零点（即满足 ζ(s)=0 且 0 < Re(s) < 1 的点）控制着素数的分布。每一个零点都会给素数计数函数带来一项振荡。黎曼在 1859 年猜想：所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=1/2 上，这就是黎曼猜想。
黎曼猜想声称：所有非平凡零点都位于临界线 Re(s)=1/2 上。
已有超过 10 万亿个非平凡零点被验证落在 Re(s)=1/2 上，但从未找到反例。克雷数学研究所为其证明（或证伪）提供 100 万美元奖金。若能证明它成立，就能给出素数分布误差的最优界。黎曼猜想至今已经悬而未决 165 年。
黎曼ζ函数满足一种深刻的对称关系：ζ(s) = 2^s · π^(s-1) · sin(πs/2) · Γ(1-s) · ζ(1-s)。这条函数方程把 ζ 延拓到了除 s = 1 之外的整个复平面，并把左半平面的取值与右半平面的取值联系起来。它也是理解临界线 Re(s)=1/2 为什么如此特殊的核心工具之一。
黎曼ζ函数可以写成 ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ...。欧拉求出了它在偶整数处的精确值：ζ(2) = π^2/6，ζ(4) = π^4/90。1859 年黎曼把它推广到复平面，并提出著名猜想：所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=1/2 上。由于 ζ 与素数分布通过欧拉乘积紧密相连，黎曼猜想若被证明，将深刻改进我们对素数误差项的理解。