de Moivre 定理说明：把单位圆上的一个点提升到 n 次幂，只会把它的角乘以 n。如果起始角是 θ，重复应用这一运算 n 次，就会到达角 nθ 的位置。这正是复数算术的几何核心。
从单位圆上角度 θ=40° 的点出发。平方会把角加倍到 80°（绿色），立方会把角变成 120°（红色）。这个点只是发生旋转：它到原点的距离始终是 1。
这个定理直接来自欧拉公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ。把等式两边都提升到 n 次幂，就得到 (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ)。de Moivre 在 1707 年就写出了这一结果，比欧拉发表该公式早了 41 年，因此这个证明看起来更像魔法，而不是机械推演。
6 次单位根在单位圆上构成一个正六边形。一般来说，z^n = 1 的 n 个解总会构成一个正 n 边形，彼此的角间隔都是 2πk/n = τk/n。
de Moivre 定理是计算复数幂和根、推导多倍角公式（例如 cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ），以及求任意复数的 n 个均匀分布的 n 次根的关键工具。它把复数代数与旋转几何连接在一起。
当你把两个复数相乘时，它们的角（辐角）会相加，模长会相乘。如果两个数都在单位圆上（模长为 1），变化的只有角度。连续乘 n 次，就会把角累加 n 次：这正是 de Moivre 定理。
de Moivre 定理表明，cos(n*theta) 总可以写成 cos(theta) 的一个多项式。这些多项式就是切比雪夫多项式 T_n：T_n(cos theta) = cos(n*theta)。例如，cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1，因此 T_2(x) = 2x^2 - 1。它们出现在数值分析、滤波器设计和逼近理论中。
欧拉恒等式 · 复数 · 勾股定理