欧拉恒等式源自欧拉公式：eix = cos(x) + i·sin(x)。令 x = π，得 eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1，因此 eiπ + 1 = 0。
eiθ 描绘单位圆。旋转 π 弧度到达 −1。加 1，得 0。
它将算术（0 和 1）、代数（i）、几何（π）和分析（e）——数学的四个不同分支——融合在一个极其简洁的方程中。Richard Feynman 称其为“数学中最非凡的公式。”
Leonhard Euler（1707–1783）在其《Introductio in analysin infinitorum》（1748）中发表了公式 eix = cos(x) + i·sin(x)。该恒等式是 x = π 时的特例。Euler 引入或推广了 e、i、f(x)、Σ 和 π 等记号。
当 x = iπ 时，eˣ 的泰勒级数会分成实部的 cos(π) 和虚部的 i·sin(π)。由于 cos(π) = −1、sin(π) = 0，所以 e^(iπ) = −1，从而 e^(iπ) + 1 = 0。
公式 e^(i*theta) 在复平面上描出单位圆，随着 theta 增大不断旋转。e^(i*pi) 表示从 1 出发，恰好旋转 pi 弧度，也就是 180 度，最终落在 −1。再加上 1，就回到 0。这就是为什么 e^(i*pi) + 1 = 0：它把复平面中的半周旋转写成了一个等式。
e^(iθ) 是一个旋转算子。当 θ = π 时，你正好转过半个圆。实轴上的点 1 会移动到 −1。两边再加上 1，就得到 e^(iπ) + 1 = 0。
欧拉恒等式 e^(i*pi) + 1 = 0 把数学中五个最重要的常数联结在一起：e（自然对数的底）、i（虚数单位）、pi（圆周率）、1（乘法单位元）和 0（加法单位元）。它直接来自欧拉公式 e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta)，只需令 theta = pi。因为 cos(pi) = -1、sin(pi) = 0，所以 e^(i*pi) = -1。欧拉大约在 1748 年发表了这一结果。它在多次评选中被称为数学中最优美的等式。