把所有不超过 n 的素数倒数相加：1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p。这一和会增长，但速度极慢，大致像 ln(ln(n))。迈塞尔-梅滕斯常数 M 就是这个和与其主导项之间的精确差值，就像欧拉-马歇罗尼常数 γ 衡量调和级数与 ln(n) 之间的差距一样。
欧拉在 1737 年证明了所有素数倒数之和会发散。要证明这一点，比仅仅证明素数有无穷多个困难得多，而且它也给出了素数密度的一个定量刻画。随后梅滕斯定理说明：Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n)。因此 M 正是这个渐近式中的常数项。
欧拉-马歇罗尼常数与迈塞尔-梅滕斯常数的对比。
| 欧拉-马歇罗尼 γ | 迈塞尔-梅滕斯 M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| 所有整数 | 仅限素数 |
M 与 γ 满足关系式 M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p)。目前我们不知道这两个常数中任何一个是否为无理数。它们都已经被计算到数十亿位，也都被普遍猜测是超越数，但两者都没有证明。M 的开头数字是 0.261497212847642783755426838608669…
调和和在这些点分别达到 2.93、5.19、7.49 和 9.79；而按 ln(ln(n))+M 增长的素数倒数和，在相同位置只有 0.84、1.18、1.52 和 1.85。
欧拉-马歇罗尼常数 γ 衡量的是调和级数 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n 与 ln(n) 之间的差距。迈塞尔-梅滕斯常数 M 则对素数倒数和 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p 与 ln(ln(n)) 扮演同样的角色。换句话说，它们都是具有对数增长的发散级数的校正常数。
迈塞尔-梅滕斯常数 M ≈ 0.26149 对素数倒数和所起的作用，与欧拉-马歇罗尼常数对调和级数所起的作用完全类似。Mertens 在 1874 年证明，1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + 一个更小的误差项。M 是否是无理数仍未知。它会出现在梅滕斯关于素数乘积的定理以及平滑数密度的研究中。M 与 γ 还通过一个对所有素数求和的显式公式相联系。