▾ 什么是无穷？
|N| = |Z| = |Q| < |R|
可数无穷严格小于不可数无穷。
无穷并不是单一的一种东西。Georg Cantor 在 1874 年证明，有些无穷确实比另一些更大。整数、分数，甚至偶数集合都拥有同样大小的无穷；但实数集合却形成了一个严格更大的无穷，任何列表都不可能把它们完整列出。
康托尔对角线论证：为什么实数无法被列成清单
SUPPOSED COMPLETE LIST
r1 = 0.
4
1 5 9 2 6...
r2 = 0.7
8
2 4 3 1...
r3 = 0.31
4
1 5 9...
r4 = 0.271
8
2 8...
r5 = 0.1415
9
2...
... (infinitely many rows)
DIAGONAL
d = 0.4849...
Change each digit:
4→5, 8→9, 4→5, 8→9
d* = 0.5959...
NOT on the list!
Any list of reals is incomplete. The diagonal number differs from every row at its own position.
无穷的大小：一个严格的层级
N: aleph-0
Z (integers)
same size as N
Q (rationals)
same size as N
R (reals): strictly larger
uncountable: cannot be listed
countable
|P(N)| = |R| = 2^(aleph-0) (the continuum)
自然数、整数和有理数都属于可数无穷，可以与自然数建立一一对应。实数则是不可数无穷，规模严格更大。连续统假设则问：在这两种大小之间，是否还存在别的无穷？
希尔伯特旅馆：一个所有房间都满了的无限旅馆，仍然总能再住进新客人
HILBERT'S HOTEL (fully occupied)
{[1,2,3,4,5,6,7].map((n, i) => `${n} `).join('')}
...
New
guest
Solution: move guest n to room n+1. Room 1 is now free. infinity + 1 = infinity.
无穷速览
Cantor 在 1874 年证明，并非所有无穷都相同。自然数、整数和有理数都是可数无穷，也就是说它们可以被列出。实数则是不可数无穷，对它们不存在完整列表，这一点可由对角线论证看出。Cantor 的幂集定理还进一步说明：任何集合的幂集都严格比原集合更大，因此会产生一条无穷向上的无穷层级。连续统假设，也就是“整数与实数之间是否还有另一种无穷”的问题，后来被证明独立于通常的集合论公理系统。
Question
Cantor是如何证明实数是不可数的？
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