一个复数有两个部分：实部和虚部。虚数单位 i 满足 i² = -1。每个实数都可以看成 b = 0 的复数。复数填充的是一个二维平面，而不是一条一维直线，并且使每个多项式方程都拥有与其次数相同数量的根。
乘以 i 就是逆时针旋转 90°。连续乘两次 i（也就是乘以 i²）就是旋转 180°，会把 1 变成 -1。所以 i² = -1 不是代数花招，而是一次旋转。
在实数范围内，x²+1=0 没有解。在复数范围内，它有两个解：i 和 -i。代数学基本定理说：一旦扩展到复数域，任意 n 次多项式就恰好有 n 个根。
比较实数域与复数域上的多项式，说明任意 n 次多项式恰有 n 个复根的表格。
| 多项式 | 实根 | 复数域中 |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1（x=3） | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2（±2） | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 个实根 | 2（±i） |
| x³ - 1 = 0 | 1 个实根 | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 个实根 | 4 |
| 任意 n 次多项式恰有 n 个复根，重数计入在内 |
欧拉恒等式 · de Moivre 定理 · 无理数
复数通过引入满足 i² = -1 的 i，把实数轴扩展为二维平面。每个复数 z = a + bi 都有实部 a、虚部 b、模长 |z| = sqrt(a² + b²)，以及辐角 arg(z) = atan(b/a)。乘以 e^(i*theta) 等价于旋转 theta 弧度。代数学基本定理指出，任意 n 次多项式都恰好有 n 个复根，重数计入在内。复数是量子力学、信号处理和欧拉恒等式的基础。