数学建立了五个主要的数系，而每一个都是对前一个的扩展。每一次扩展都由一个原先无法回答的问题推动：“3-5 等于多少？”迫使我们引入整数；“1/3 是什么？”引入了有理数；“√2 是什么？”引入了实数；“√(-1) 是什么？”则引入了复数。
展示数系扩展时新增和改变性质的表格。
| 系统 | 新增能力 | 失去或改变的性质 |
|---|---|---|
| N，自然数 | 计数、+、× | 不能做减法 |
| Z，整数 | 减法、负数 | 不能普遍除法 |
| Q，有理数 | 除法、分数 | 仍无法容纳 √2 |
| R，实数 | 所有极限、√2、π | 仍没有 √(-1) |
| C，复数 | 所有多项式根 | 代数闭合 |
| H，四元数 | 三维空间旋转 | 乘法不再交换：ab ≠ ba |
| 每次扩展都是真正变大，而不是简单改名 |
蓝色：自然数 ℕ；绿色补上 0；紫色扩展到负整数 ℤ；橙色补上分数 ℚ；红色表示无理数，它们填满了实数 ℝ 的其余部分。
数学里最核心的五个数系分别是：自然数 N，用于计数而不含减法；整数 Z，引入减法和负数；有理数 Q，引入除法与分数；实数 R，包含极限与无理数；复数 C，再加入 √(-1)。每一次扩展，都是为了让某个在前一个系统中无解的方程变得可解。复数是代数闭合的，也就是说每一个多项式方程在 C 中都有根。这些包含关系都是真正严格的：N 在 Z 中，Z 在 Q 中，Q 在 R 中，R 在 C 中，而超越数则填充了实数外层的大部分空间。