连分数把一个数写成“整数 + 另一个连分数的倒数”的形式。每个实数都有唯一的连分数展开。有理数的展开会终止，二次无理数会变成周期性的，而像 π 这样的超越数则看不出模式。通过截断得到的渐近分数，也就是有理近似，已被证明是在该分母规模下的最佳近似。
比较 φ、sqrt2、e 和 π 的连分数，展示哪些是周期的、哪些是不规则的表格。
| 常数 | 连分数记号 | 类型 |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | 周期 |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | 周期 |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | 周期 |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | 有模式 |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | 无模式 |
| 定理：一个连分数当且仅当对应的数是二次无理数时，才会是周期的（Lagrange，1770） | ||
| φ 是最难逼近的数：它的连分数全由 1 组成，因此收敛速度达到可能的最慢。 |
展示 π 的渐近分数及其在小分母下不断提高的有理近似精度的表格。
| 渐近分数 | 十进制 | 误差 |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 的分母只有三位数，却已经精确到 6 位小数。 |
渐近分数 3、22/7、333/106、355/113 和 103993/33102 会在 π 的上方和下方交替出现。每一个都是在该分母或更小分母范围内的最佳有理近似。
φ · √2 · Khinchin
每个实数都有唯一的连分数展开。有理数的展开是有限的。像 sqrt(2) 和 φ 这样的二次无理数最终会进入周期。像 π 这样的超越数则看不出模式。连分数的渐近分数给出最佳有理近似：22/7 和 355/113 都是 π 的渐近分数，分别精确到 2 位和 6 位小数。φ = [1; 1, 1, 1, ...] 在严格意义上是最难被有理数逼近的数。