ζ(3) 是黎曼ζ函数在 3 处的值，也就是对所有正整数求和的 1/n³。对于偶数自变量，欧拉找到了优美的闭式：ζ(2) = π²/6，ζ(4) = π⁴/90，ζ(6) = π⁶/945。对于奇数自变量，还没有这样的公式。ζ(3) 是否与 π 有关，至今未知。
z(3) 位于两个已知可用 π 给出闭式的值之间。z(3) 本身是否涉及 π 仍然未知。
1978 年，Roger Apéry 宣布他证明了 ζ(3) 是无理数。听众起初很怀疑。Henri Cohen 和其他数学家连夜赶回去用计算机核查证明。到第二天早晨，他们确认它是正确的。一位与会者说：“这像是晴天霹雳。”当时 Apéry 64 岁。
部分和 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + … 从下方逼近 ζ(3) ≈ 1.20206。收敛很慢：即使在 n=50 时，和仍相差约 0.003。
ζ(3) 是否能用 π 表示，是一个突出的开放问题。所有偶数位的ζ值都是相应 π 幂的有理倍数。奇数位ζ值似乎属于另一个世界。我们已知有无穷多个奇数值 ζ(2n+1) 是无理数（Rivoal，2000），但其精确规律仍然神秘。完整数值：1.20205690315959428539973816151144999…
对于所有偶数 k，都有 ζ(2k) = 有理数 × π^(2k)。欧拉证明了这一点对所有偶数值都成立。但 ζ(3)、ζ(5)、ζ(7)… 完全不同。ζ(3) 是无理数（Apéry），但尚不知道它与 π 有任何关系。它也许真的与 π 相互独立。
展示偶数点ζ值可写成 π 的公式，而奇数点仍是开放谜题的表格。
| 偶数 s：精确公式 | 奇数 s：谜团 |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | 无理数（Apéry 1978） |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | 无理数？未知 |
| 全部 = 有理数 × π^s | 没有已知的 π 联系 |
未知。Roger Apéry 在 1978 年证明了 zeta(3) 是无理数，但它是否为超越数仍是一个开放问题。人们普遍相信它是超越数，但还没有证明。
它出现在量子电动力学中，例如电子磁矩的修正、随机矩阵理论，以及二维 Ising 模型的熵中。它还出现在统计力学中的费米–狄拉克分布和玻色–爱因斯坦分布里。
Ramanujan 找到了 zeta(3) 的快速收敛级数，其中包括带有 7π³/180 和对指数项求和的公式。他的笔记本中包含几十个关于 zeta(3) 的恒等式，其中大多数直到他去世几十年后才被证明。
它们是整数 A(n) = 对 k 求和的 C(n,k)^2 C(n+k,k)^2，出现在 Apéry 的无理性证明中。前几项是 1、5、73、1445 和 33001。它们满足递推关系，并以一种使 1/n^3 的部分和中某些分母因子相互抵消的方式增长，从而迫使极限是无理数。
Apéry 常数 ζ(3) 是级数 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959。对于偶数 s，欧拉找到了含 π 的闭式，例如 ζ(2) = π²/6 和 ζ(4) = π⁴/90。对于奇数值，目前还没有这种公式。Roger Apéry 在 1978 年、64 岁时证明了 ζ(3) 是无理数。ζ(3) 是否为超越数，以及它是否能用 π 表示，至今仍是开放问题。