什么是巴塞尔问题？

1 + 1/4 + 1/9 + ⋯ = π²/6

Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1.64493。欧拉，1734。

巴塞尔问题询问级数 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ 的精确值。这个级数会收敛，但究竟收敛到哪里？Pietro Mengoli 在 1650 年提出了这个问题。它让数学家们困了 84 年，直到欧拉在 1734 年、28 岁时将其解决。

1+1/4+1/9+… 的部分和收敛到 π²/6

部分和缓慢逼近 π²/6 ≈ 1.6449。欧拉在 1734 年证明极限正是 π²/6，由此把分析与几何联系起来。

欧拉的证明把 sin(x)/x 的泰勒级数分解为关于其零点 ±π、±2π、±3π… 的无穷乘积。把乘积展开中的 x² 系数与泰勒展开中的 x² 系数进行比较，就能直接得到 Σ 1/n² = π²/6。这是数学中最著名的计算之一。π 在这里出现并非偶然：圆与球面会通过黎曼ζ函数，自然地与对整数的求和联系起来。

巴塞尔级数的前八项：1/n^2

每一项 1/n^2 都迅速变小。它们的和恰好收敛到 π^2/6 ≈ 1.6449。

这一结果可以推广：ζ(4) = π⁴/90，ζ(6) = π⁶/945，而所有偶数点的ζ值都是 π 的幂的有理倍数。奇数值 ζ(3)、ζ(5)、ζ(7)… 则神秘得多。Apéry 在 1978 年证明了 ζ(3) 是无理数，但至今还不知道它是否有关于 π 的闭式。

π → Apéry 常数 → 黎曼ζ函数 →

欧拉的证明思路：把 sin(x)/x 写成无穷乘积

sin(x)/x = (1−x²/π²)(1−x²/4π²)(1−x²/9π²)…

比较 x² 的系数：−1/π² − 1/4π² − 1/9π² − … = −1/6

因此 1/1² + 1/2² + 1/3² + … = π²/6 ∎

一个出人意料的概率

两个随机选取的整数互素的概率恰好是 6/π²，也就是 π²/6 的倒数，约为 60.8%。这使巴塞尔问题把分析直接与数论和概率联系起来。