调和级数是所有单位分数的和。每一项 1/n 都趋向于 0，这似乎暗示总和可能会收敛，但事实并非如此。经典证明利用分组：1/3+1/4 > 1/2，接着 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2，而之后的每一组至少也都贡献 1/2。因此总和会超过任何给定界限。尽管如此，它发散得异常缓慢：要让部分和达到 100，所需项数比可观测宇宙中的原子数还多。
H(n) 与 ln(n) 一起增长，二者始终相差约 γ ≈ 0.5772。两者都会发散：要让 H(n) = 100，大约需要 10^43 项。
要使 H(n)=100，大约需要 10^43 项，这比可观测宇宙中的原子总数还要多。
调和级数 1 + 1/2 + 1/3 + ... 会发散。Nicole Oresme 大约在 1350 年证明了这一点。虽然每一项都趋于 0，但总和仍会超过任何上界。它的部分和增长得像 ln(n) + gamma，其中 gamma ≈ 0.5772，是欧拉-马歇罗尼常数。即便加到一百万项，总和也只有大约 14。要达到 100，则需要超过 10^43 项。与之相比，交错级数 1 - 1/2 + 1/3 - ... 则会收敛到 ln 2。