什么是微积分基本定理？

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

其中 F′(x) = f(x)。这是分析学中最有用的结果。

微积分基本定理把两个看似分离的想法连在一起。第一部分说：如果把一个函数从固定点积分到 x，那么这个积分函数的导数又会回到原来的函数。第二部分说：f 从 a 到 b 的定积分，等于任意一个原函数 F 在 b 处的值减去它在 a 处的值。

0 到 2 区间上 x² 下方的面积：原函数给出精确答案

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 - 0 = 8/3 ≈ 2.667。原函数 F(x) = x³/3 可以直接给出精确面积，无需近似。

在这个定理出现之前，人们必须借助黎曼和来计算面积：把区域切成许多细小矩形，累加后再取极限。微积分基本定理把这一切化成一次减法。牛顿在 1666 年前后理解了这一思想，莱布尼茨则在 1675 年前后独立得到它。两人的优先权之争让英国与欧洲大陆数学界分裂了整整一代人。

微积分基本定理的两个部分

Part 1: d/dx [∫ₐˣ f(t)dt] = f(x)

第一部分：d/dx [∫ₐˣ f(t)dt] = f(x)

第二部分：∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)，其中 F'(x) = f(x)

第一部分说明求导会抵消积分；第二部分说明要计算定积分，只需找到一个原函数并减去端点值。

分析学课程中教的几乎每一个积分题，都在使用第二部分：找到一个原函数，在边界点处代入，再做差。之所以可行，是因为求导和积分是精确的逆运算。这是整个数学中最深刻、也最实用的结果之一。

泰勒级数 → 沃利斯乘积 →

用黎曼和逼近面积：而基本定理可直接替代这一过程

用 8 个矩形作黎曼和只能得到近似值，而微积分基本定理可以完全不用矩形就得到精确答案。

在物理中的应用

若一个随位置变化的力 F(x) 在物体从 a 移动到 b 的过程中做功，那么做功 W = 从 a 到 b 对 F(x) 的积分 = P(b) - P(a)，其中 P 是满足 P′ = -F 的势能。速度积分得到位移，力积分得到动量变化。微积分基本定理让这些计算变得可操作，而不必真的去求无限个黎曼和。