在任何直角三角形中，斜边（直角对边）上的正方形面积等于另外两条边上的正方形面积之和。若两条直角边为 a 和 b，斜边为 c，那么 a² + b² = c²。经典的 3-4-5 三角形就满足 9 + 16 = 25。
a² + b² = c². For the 3-4-5 triangle: 9 + 16 = 25. The blue and red squares together equal the green square in area.
公元前 1900 年左右的巴比伦泥板已经列出了勾股数组，如 (3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)，说明这一事实在毕达哥拉斯之前很久就已被经验性地掌握。毕达哥拉斯学派（约公元前 570 年）给出了最早的证明。如今已知有 370 多种不同证明，包括代数、几何、三角学证明，甚至还有美国总统 James Garfield 于 1876 年发表的一种证明。
一些常见的勾股数组。
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
在 n 维空间中，原点到点 (x₁, x₂, …, xₙ) 的距离是 √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²)。费马大定理（Andrew Wiles 于 1995 年在 358 年后证明）说明，当 n 大于 2 时，方程 aⁿ + bⁿ = cⁿ 不再存在非零整数解。勾股定理正是 n=2 的情形，而且这一情形拥有无穷多个整数解。
Both big squares are (a+b)×(a+b). Both contain four identical right triangles. What is left over in the left square is c². What is left over in the right square is a²+b². They must be equal.
在任意直角三角形中，都有 a^2 + b^2 = c^2。巴比伦人在公元前 1800 年左右已经经验性地知道这一事实；毕达哥拉斯学派在约公元前 570 年给出了最早的证明。如今已知有 370 多种不同证明，其中包括 1876 年美国总统 James Garfield 的证明。整数解称为勾股数组，所有数组都可由 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) 生成。费马大定理（Wiles，1995）说明，对指数大于 2 的情形不再有类似的整数解。这个定理在 n 维空间中还会推广为欧几里得距离公式。