调和级数 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ 会发散，但增长得极其缓慢。即便加到一百万项，总和也才刚接近 14。自然对数 ln(n) 以同样的速度增长。欧拉-马歇罗尼常数 γ 正是两者之间的精确差值：γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n)。
调和部分和与 ln(n) 的差在 n → ∞ 时趋向 γ ≈ 0.5772。收敛非常缓慢，即便 n = 1000，误差仍大约有 0.001。
γ 在分析学和数论中频繁出现。它把调和级数与黎曼 ζ 函数联系起来：形式上有 γ = -ζ′(1)。它还出现在伽马函数中，因为 Γ′(1) = -γ；也会出现在素数间隙分布、贝塞尔函数和 digamma 函数的渐近展开中。
γ 是有理数还是无理数，至今仍是数学中最古老的开放问题之一。几乎所有数学家都相信它甚至是超越数，但还没有证明。它已经被计算到超过 6000 亿个十进制位：0.57721566490153286060651209008240243…
红色阶梯曲线表示调和部分和 H(n)，蓝色平滑曲线表示 ln(n)+γ。两者之间的差趋于 0，但会缓慢波动：H(n)−ln(n) → γ。
欧拉-马歇罗尼常数 γ 约等于 0.57721566490153286060。它是有理数还是无理数仍未知，也是数学中最著名的开放问题之一。欧拉在 1734 年首次发表了它，马歇罗尼在 1790 年独立重新计算。γ 会出现在伽马函数、黎曼 ζ 函数、梅滕斯素数乘积定理、贝塞尔函数以及素数间隙分布中。由于目前还没有已知的流式生成算法，它的数字通常需要预先计算并存储。
欧拉-马歇罗尼常数 γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the 调和级数减对数极限.