什么是高斯积分？

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509。证明要借助二维极坐标。

函数 e^(−x²) 就是一条钟形曲线：它在 x = 0 处取最大值 1，并且向左右两边对称地衰减到 0。沿整条实数轴对它积分，得到的面积恰好是 √π ≈ 1.7724。这一点非常惊人：e 和 π 这两个通常出现在不同场景中的常数，在概率论里最基本的一个积分中被连接到了一起。

钟形曲线 e^(−x²)：面积 = √π

对所有 x 而言，e^(−x²) 的积分等于 √π ≈ 1.7725，这就是高斯积分。再除以 √(2π) 并适当缩放后，就得到标准正态分布曲线。

它的证明是数学中最优雅的技巧之一。设 I = ∫e^(−x²)dx。先把 I² 写成关于 x 和 y 的二重积分，再切换到极坐标 r、θ。此时被积函数变成 e^(−r²)，面积元变成 r·dr·dθ。恰恰是这个额外的 r 让积分变得初等：∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2。再乘上 ∫₀^(2π) dθ = 2π，就得到 I² = π，因此 I = √π。

正态分布公式

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = 标准差，μ = 均值

归一化因子 1/√(2π) 直接来自高斯积分：∫e^(−x²)dx = √π。

正态分布、中心极限定理、量子力学中的高斯波包，以及斯特林近似中的许多计算，都建立在这一个积分之上。只要需要对 e^(−x²) 做积分，√π 就会出现，因此它在连续概率论中比你想象的更常见。

Pi → 欧拉数 e → 斯特林近似 →

平方技巧：∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

第 1 步：把 I 平方，改写成平面上的二重积分。

第 2 步：切换到极坐标 (r, θ)，θ 的积分给出 2π。

第 3 步：令 u = r²，r 的积分给出 1/2。因此 I² = π，进而 I = √π。