记 π(n) 为不超过 n 的素数个数。素数定理说明 π(n) 的增长与 n/ln(n) 同阶。也就是说，当 n 很大时，n 附近大约每 ln(n) 个数里就有 1 个是素数。接近一百万时，大约每 14 个数里有 1 个素数；接近十亿时，大约是每 21 个数里有 1 个。
蓝色阶梯线表示 π(n)，红色虚线表示 n/ln(n)。素数定理表明，当 n 趋向无穷大时，这两者的比值趋于 1；而对数积分 Li(n) 则更精确。
高斯大约在 1800 年通过研究素数表猜想了这个结果。1896 年，Jacques Hadamard 与 Charles-Jean de la Vallée Poussin 分别独立证明了它，他们都使用了黎曼ζ函数与复分析。1948 年，Selberg 与 Erdős 又分别找到了一个纯初等证明（不依赖复分析）。
不同尺度下素数密度的近似情况。
| 到 n 为止 | 素数个数 π(n) | 密度 ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 约每 7 个数 1 个 |
| 1 000 000 | 78 498 | 约每 14 个数 1 个 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 约每 21 个数 1 个 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 约每 28 个数 1 个 |
若黎曼猜想成立，就能给出误差项的最锐利上界：|π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π)。在不假设它的情况下，我们只知道误差是 o(n/ln(n))。这也是黎曼猜想为何被视为数学中最重要的开放问题之一：它将告诉我们素数间隙究竟能被多精确地预测。
比 n/ln(n) 更准确的 π(n) 近似是对数积分 Li(n) = 从 2 到 n 的 dt/ln(t) 积分。高斯更偏好这个形式。当 n = 1,000,000 时，n/ln(n) 给出 72,382，而 Li(n) 给出 78,628，真实值则是 78,498。Li(n) 的误差明显更小。黎曼猜想将把这个误差精确限制在 sqrt(n) * ln(n) 的量级。