√2 是单位正方形的对角线长度。把边长为 1 的正方形放在桌上，从一个顶点到对角顶点的距离恰好就是 √2。这正是勾股定理的结果：1² + 1² = (√2)²。
边长为 1 的正方形，其对角线长度就是 √2。
毕达哥拉斯学派大约在公元前 500 年发现，√2 不能写成 p/q 的形式，其中 p 与 q 都是整数。这个反证法非常优雅：假设 √2 = p/q 且 p/q 已约成最简。于是 2q² = p²，所以 p² 是偶数，从而 p 是偶数，设 p = 2k。代回得 2q² = 4k²，因此 q² = 2k²，所以 q 也是偶数。这与 p/q 最简相矛盾，因此 √2 是无理数。
这些是连分数 [1; 2, 2, 2, …] 的渐近分数。每个分数都是在对应分母下对 √2 的最佳有理逼近。
由 √2 的连分数得到的一些经典逼近。
| 分数 | 十进制 | 误差 |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 是代数数（它满足 x² = 2），但它不是有理数。在三角学中，sin(45°) = cos(45°) = 1/√2。A 系列纸张（A4、A3、A2……）使用的正是 1:√2 的比例，因此纸张对折后仍能保持相同的长宽比。高精度数值为：1.41421356237309504880168872…
每个直角三角形的一条直角边等于前一个三角形的斜边，另一条直角边恒为 1，因此斜边依次给出 √1、√2、√3、√4……
2 的平方根约为 1.41421356237309504880。它是已知最早被证明为无理数的数之一，古希腊人大约在公元前 500 年就完成了这一证明。它是代数数，满足 x² = 2。它出现在单位正方形的对角线长度、十二平均律音乐（每个半音把频率乘以 2 的 12 次方根）、A 系列纸张比例，以及两条直角边相等时的勾股定理中。
√2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the 连分数.