泰勒级数把任何光滑函数表示为一个无穷多项式。每个系数都来自导数：第 n 项是 f⁽ⁿ⁾(a)/n! 乘以 (x-a)ⁿ。对于 eˣ、sin(x)、cos(x) 这样的良态函数，这个级数在整个定义域上都收敛到函数的精确值。
每增加一项，多项式能良好逼近 sin(x) 的范围就会扩大。sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
最重要的三条麦克劳林级数是：eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯（处处收敛）；sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯（处处收敛）；cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯（处处收敛）。把 x = iπ 代入 eˣ 的级数，就能得到欧拉恒等式。
若干核心麦克劳林级数及其收敛半径。
| f(x) | 级数 | 半径 |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor 在 1715 年陈述了一般定理；以 0 为中心的特例则由 Colin Maclaurin 于 1742 年推广并普及。每一台计算器和计算机在求值超越函数时都会使用泰勒级数。取前 n 项后的误差由拉格朗日余项控制：|f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … 随着项数增加，逼近的阶数不断提高。
泰勒级数把一个光滑函数表示为无穷多项式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... 系数都来自中心点 a 处的导数。以 0 为中心的情形叫做麦克劳林级数。最关键的三条级数都处处收敛：e^x = 1 + x + x^2/2! + ...，sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...，cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... 把 x = i*pi 代入 e^x 级数即可证明欧拉恒等式。每台计算器在内部求值超越函数时，都会使用泰勒级数。