ゲルフォント定数は e を π 乗した数で、その値は 23.14069263277927… である。これが超越数であることを証明する問題は、1900 年にヒルベルトが提示した第 7 問題の中心例だった。アレクサンドル・ゲルフォントは 1934 年にそれを解決した。
e^π は 23 にかなり近いが、0.14 だけずれている。e^π − π ≈ 19.999 という近さも、現時点では意味のない偶然とみなされている。
ゲルフォント＝シュナイダーの定理は、a が 0 と 1 でない代数的数、b が代数的かつ無理数なら、a^b は超越数であると述べる。e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i) だから、a = −1、b = −i と見ればこの定理を適用できる。
ゲルフォント＝シュナイダー定理で超越数と証明できる数の例。
| 式 | a | b | 結論 |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | 超越 数 |
| 2^√2（ヒルベルト） | 2 | √2 | 超越数 |
| √2^√2 | √2 | √2 | 超越数 |
e^π − π ≈ 19.9990999 という数値的な近さには、いまのところ数学的説明は知られていない。偶然とみなされることが多いが、ラマヌジャン定数のように、一見偶然に見える近似が深い意味をもつ場合もある。e^π は非常に多くの桁まで計算されている。
e^π > π^e。関数 x^(1/x) は x=e で最大になるため、e^(1/e) > π^(1/π) から e^π > π^e が従う。
ゲルフォント定数 e^π ≈ 23.14069。これが超越数であることを示すことは、ヒルベルトの第 7 問題（1900 年）だった。ゲルフォントは 1934 年に、a が代数的（0 と 1 を除く）、b が代数的かつ無理数なら a^b は超越数であると証明した。e^π = (−1)^(−i) なので定理が適用できる。e^π − π ≈ 19.999 という近さには既知の説明がない。