π(n) を n 以下の素数の個数とする。素数定理は、π(n) が n/ln(n) のように増えることを述べる。n が大きくなるにつれ、n 付近の数のうち素数であるのはおよそ 1/ln(n) の割合になる。100 万付近では約 14 個に 1 個、10 億付近では 21 個に 1 個が素数である。
π(n) は n 以下の素数を数える（青い階段）。素数定理は π(n) ~ n/ln(n)、すなわち n → ∞ でその比が 1 に近づくことを述べる。対数積分 Li(n) はさらに精度が高い。
ガウスは 1800 年ごろ、素数表を研究してこの結果を予想した。1896 年、ジャック・アダマールとシャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレ＝プッサンが、どちらもリーマンゼータ関数と複素解析を用いて独立に証明した。複素解析を使わない初等的な証明は、1948 年にセルバーグとエルデシュが独立に見つけた。
さまざまなスケールでの素数密度の表
| n まで | 素数の個数 π(n) | 密度 ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 7 個に 1 個 |
| 1 000 000 | 78 498 | 14 個に 1 個 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 21 個に 1 個 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 28 個に 1 個 |
リーマン予想が成り立てば、誤差に対する最良の評価 |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π) が得られる。これがない現状では、誤差が o(n/ln(n)) であることしか分かっていない。だからこそリーマン予想は数学で最も重要な未解決問題とされる。素数間隔がどれほど正確に予測できるかを教えてくれるからである。
π(n) を n/ln(n) よりも正確に近似するのが、対数積分 Li(n) = 2 から n までの dt/ln(t) の積分である。ガウスはこの形を好んだ。n = 1,000,000 のとき、n/ln(n) は 72,382、Li(n) は 78,628 を与え、正確な個数 78,498 に非常に近い。Li(n) の誤差ははるかに小さい。リーマン予想が成り立てば、この誤差は sqrt(n) * ln(n) の大きさで正確に抑えられる。