黄金比（φ）とは？

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.61803…

φ² = φ + 1。連分数は [1; 1, 1, 1, …]。無理数であり代数的数。

φ（ファイ）は方程式 x² = x + 1 の正の解である。この方程式には幾何学的な意味がある。線分を、全体と長い部分の比が長い部分と短い部分の比に等しくなるように分けると、その比が φ である。この自己相似的な性質を持つ数は他にない。

黄金分割

フィボナッチ比は φ に収束する

フィボナッチ比が φ に収束する表

フィボナッチの組	比	φ との差
1, 1	1.000	0.618
2, 3	1.500	0.118
8, 13	1.625	0.007
55, 89	1.61818…	0.00015
→ ∞	1.61803…	0

黄金比は正五角形と五芒星に現れ、対角線どうしは互いを黄金比に分ける。フィボナッチ数を一つ前の数で割った比は φ に近づく。連分数 [1; 1, 1, 1, …] は最も単純な無限連分数で、すべて 1 から成る。このため φ は分数で近似しにくい「最も無理数らしい数」と呼ばれる。

黄金螺旋：各正方形に描いた 1/4 円弧がオウムガイ状の曲線を作る

黄金長方形から正方形を一つ切り取ると、残りもまた黄金長方形になり、縮小率は 1/φ である。これを無限に繰り返すと、貝殻や銀河に見られる黄金螺旋が現れる。

φ は φ² = φ + 1 を満たすので、φ = 1 + 1/φ とも書ける。これを繰り返し代入すると、φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) となる。すべて 1 だけから成るこの無限連分数が、φ の定義であると同時に「最も無理数らしい」という性質の理由でもある。値の冒頭は 1.61803398874989484820…

銀比 → √2 →

正五角形：各対角線は辺のちょうど φ 倍

辺の長さが 1 の正五角形では、どの対角線も長さは φ ≈ 1.618 になる。対角線どうしも互いを黄金比に分ける。5 本の対角線をすべて描くと五芒星が現れ、その内部にも黄金比が満ちている。

黄金比 φ の要点

黄金比 φ は約 1.61803398874989484820 で、方程式 x² = x + 1 の正の解である。無理数であり代数的数であり、連続するフィボナッチ数の比の極限でもある。正五角形や正二十面体、ヒマワリの種の並び、古代ギリシャ以来研究されてきた比に現れる。連分数 [1; 1, 1, 1, ...] は実数の中で最も分数近似しにくい形であり、そのため植物の葉序では φ から導かれる黄金角が使われる。