ζ(3) は、リーマンゼータ関数を 3 において評価した値であり、すべての正の整数にわたる 1/n³ の総和である。偶数の引数では、オイラーは美しい閉形式を見つけた。たとえば ζ(2) = π²/6、ζ(4) = π⁴/90、ζ(6) = π⁶/945 である。奇数の引数では、そのような公式は見つかっていない。ζ(3) がそもそも π を含むかどうかさえ不明である。
z(3) は、π を含む既知の閉形式をもつ 2 つの値の間にある。z(3) 自身が π を含むかどうかは、いまもわかっていない。
1978年、ロジェ・アペリーは ζ(3) が無理数であるという証明を発表した。聴衆は懐疑的だった。アンリ・コーエンら数学者たちはその夜のうちに帰宅し、コンピュータで証明を検証した。翌朝には正しいことが確認された。ある参加者は「晴天の霹靂のようだった」と語った。当時アペリーは64歳だった。
部分和 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + … は下から ζ(3) ≈ 1.20206 に近づく。収束は遅く、n=50 でも和はまだ約 0.003 だけ離れている。
ζ(3) を π で表せるかどうかは、際立った未解決問題である。偶数のゼータ値はすべて、対応する π の冪の有理倍になっている。これに対して奇数のゼータ値は、まるで別の世界に属しているように見える。無限に多くの奇数値 ζ(2n+1) が無理数であることは知られているが（Rivoal, 2000）、正確な全体像はなお謎のままである。値の冒頭は 1.20205690315959428539973816151144999…
すべての偶数 k について ζ(2k) = 有理数 × π^(2k) となる。オイラーはこれをすべての偶数値について示した。しかし ζ(3)、ζ(5)、ζ(7)… はまったく様子が異なる。ζ(3) が無理数であることはわかっている（アペリー）が、π との関係は何もわかっていない。実際に π と独立なのかもしれない。
偶数のゼータ値は π の公式で与えられるが、奇数のゼータ値はなお謎であることを示す表。
| 偶数の s：正確な公式 | 奇数の s：謎 |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | 無理数（アペリー、1978年） |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | 無理数か？ 未解決 |
| すべて = 有理数 × π^s | 既知の π との関係なし |
未解決である。ロジェ・アペリーは 1978 年に ζ(3) が無理数であることを証明したが、超越数かどうかは依然として開かれた問題である。超越数だと広く予想されているが、証明はない。
量子電磁力学（電子の磁気モーメント補正）、ランダム行列理論、二次元イジング模型のエントロピーなどに現れる。統計力学ではフェルミ＝ディラック分布やボース＝アインシュタイン分布にも現れる。
ラマヌジャンは ζ(3) に対する急速収束級数を見つけ、その中には 7π^3/180 や指数関数の和を含む公式もある。彼のノートには ζ(3) に関する恒等式が数多く残されており、その多くは没後何十年も経ってから証明された。
アペリー数とは A(n) = Σ C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 で定まる整数列で、アペリーの無理数性証明に現れる。最初のいくつかは 1, 5, 73, 1445, 33001。これらは漸化式を満たし、1/n^3 の部分和の分母から特定の因子が打ち消されるような成長を示すため、極限が有理数になれないことが導かれる。
アペリーの定数 ζ(3) は 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959 で与えられる。偶数の s については、オイラーが ζ(2) = π^2/6、ζ(4) = π^4/90 のような π を含む閉形式を見つけたが、奇数値にはそのような公式が知られていない。ロジェ・アペリーは 1978 年、64 歳で ζ(3) が無理数であることを証明した。超越数かどうか、あるいは π で表せるかどうかは未解決のままである。