調和級数 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ は発散するが、その増え方は驚くほど遅い。100 万項足しても値はまだ 14 ほどにしかならない。自然対数 ln(n) はまさに同じ速度で増える。オイラー＝マスケローニ定数 γ は、その 2 つの差が最終的に近づく正確な値である。
調和和と ln(n) の差は n → ∞ で γ ≈ 0.5772 に近づく。収束は非常に遅く、n = 1000 でも差はまだ約 0.001 残る。
γ は解析学と整数論の至るところに現れる。形式的には γ = -ζ′(1) と見なせ、ガンマ関数では Γ′(1) = -γ となる。素数ギャップの分布、ベッセル関数、メルテンス型の定理などにも登場する。ありふれたように見えるのに、その本質は非常に深い。
γ が有理数か無理数かは、数学でもっとも古い未解決問題の一つである。多くの数学者は超越数だと考えているが、証明はまだない。値は 0.577215664901… と続き、6000 億桁以上まで計算されている。
調和部分和 H(n)（赤い階段）と ln(n)+γ（青い滑らかな曲線）。その差 H(n)−ln(n) は γ に近づく。
オイラー＝マスケローニ定数 γ はおよそ 0.57721566490153286060。H(n) − ln(n) の極限として定義される。1734 年にオイラーが公表し、1790 年にはマスケローニが独立に計算した。ガンマ関数、リーマンゼータ関数、素数積に関するメルテンスの定理、ベッセル関数、素数ギャップの分布などに現れる。無理数かどうかは依然として不明である。
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the harmonic-logarithm limit.