オイラーの等式はオイラーの公式から導かれます：eix = cos(x) + i·sin(x)。x = π を代入すると eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1 となり、したがって eiπ + 1 = 0。
eiθ は単位円を描きます。π 回転すると −1 に到達します。1 を足すと 0 になります。
算術（0 と 1）、代数（i）、幾何学（π）、解析学（e）— 数学の4つの異 なる分野を — 驚くほど簡潔な1つの方程式に結びつけます。Richard Feynman はこれを“数学で最も注目すべき公式”と呼びました。
Leonhard Euler（1707–1783）は Introductio in analysin infinitorum（1748）で公式 eix = cos(x) + i·sin(x) を発表しました。この等式は x = π の場合の特殊例です。Euler は e、i、f(x)、Σ、π の表記法を導入または普及させました。
eˣ のテイラー級数で、実部は cos(π)、虚部は i·sin(π) にまとまる。cos(π) = −1、sin(π) = 0 なので e^(iπ) = −1、したがって e^(iπ) + 1 = 0 となる。
式 e^(i*theta) は、theta が増えるにつれて複素平面上の単位円をたどる。e^(i*pi) は 1 からちょうど π ラジアン（180 度）回転して -1 に到達することを表す。両辺に 1 を足せば 0 に戻る。だから e^(i*pi) + 1 = 0 は、複素平面での半回転を等式として書いたものなのである。
e^(iθ) は回転作用素である。θ=π ではちょうど半周回転し、実軸上の点 1 は -1 に移る。両辺に 1 を足すと e^(iπ) + 1 = 0 になる。
オイラーの恒等式 e^(i*pi) + 1 = 0 は、数学の重要な 5 つの定数 e、i、π、1、0 を 1 本の式に結びつける。これはオイラーの公式 e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) に theta = pi を代入するだけで得られる。cos(pi) = -1、sin(pi) = 0 だから e^(i*pi) = -1 となる。1748 年ごろにオイラーが公表し、数学で最も美しい等式として繰り返し称えられてきた。