テイラー級数は、なめらかな関数を無限多項式として表す。各係数は微分によって決まり、n 次の項は f⁽ⁿ⁾(a)/n! に (x-a)ⁿ を掛けたものである。eˣ、sin(x)、cos(x) のような良い性質を持つ関数では、この級数はいたるところで関数そのものに収束する。
項を 1 つ増やすごとに近似できる範囲が広がる。項を増やすと sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + … となる。
最も重要な 3 つのマクローリン級数は、eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯（全域で収束）、sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯（全域で収束）、cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯（全域で収束）である。eˣ の級数に x = iπ を代入するとオイラーの恒等式が得られる。
マクローリン級数の表
| f(x) | 級数 | 半径 |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor は 1715 年に一般定理を述べ、0 を中心とする特別な場合は 1742 年に Colin Maclaurin によって広められた。あらゆる電卓やコンピュータは、超越関数を評価するためにテイラー級数を使っている。n 項までで打ち切った誤差はラグランジュ余項で抑えられ、|f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)! となる。
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + …。2 項増えるごとに近似の次数が 1 段上がる。
テイラー級数は、なめらかな関数を無限多項式で表す方法である：f(x) = f(a) + f′(a)(x-a) + f″(a)(x-a)^2/2! + ...。係数は中心 a における微分係数で決まる。0 を中心とするものはマクローリン級数と呼ばれる。主要な 3 つの級数、e^x = 1 + x + x^2/2! + ...、sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...、cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... は全域で収束する。e^x の級数に x = i*pi を代入するとオイラーの恒等式が証明できる。あらゆる電卓は内部でテイラー級数を使って超越関数を評価している。