完全数とは？

sigma(n) = 2n

すべての約数（n 自身を含む）の和が元の数の 2 倍になる

完全数は、自分自身を除く約数の和がその数自身に等しい数である。6 = 1+2+3、28 = 1+2+4+7+14。完全数はきわめてまれで、現在知られているのは 51 個だけであり、すべて偶数で、桁数は天文学的な大きさになる。奇数の完全数が存在するかどうかは、数学で最も古い未解決問題の一つである。

最初の4つの完全数：約数の姿

ユークリッド＝オイラーの定理：偶完全数 ↔ メルセンヌ素数

n is even perfect  ⟺  n = 2^(p−1) · (2^p − 1)

where 2^p − 1 is a Mersenne prime

Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.

対数目盛で見る完全数：指数関数よりも速く成長する

値は log10 で表示している。対数目盛でも各跳躍は劇的に大きくなる。第51番目の完全数は 4,900 万桁を超える。

素数 → 数体系 →

関連トピック

素数合同算術数体系

完全数の要点

完全数は、自分自身を除く約数の和が元の数に等しい数である。たとえば 6 = 1+2+3、28 = 1+2+4+7+14。ユークリッドは、2^p-1 が素数なら 2^(p-1)*(2^p-1) は完全数になることを示した。オイラーはその逆も証明し、偶完全数はすべてこの形に限られることを示した。奇数の完全数が存在するかどうかは最古級の未解決問題であり、まだ一つも見つかっていない。現在知られる 51 個の完全数はすべて偶数で、51 個の既知のメルセンヌ素数に対応している。

使用分野

∑数学

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⚛物理学

–

⚙工学

–

🧬生物学

–

💻計算機科学

✓

📊統計学

–

📈金融

–

🎨芸術

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🏛建築

–

♪音楽

–

🔐暗号学

–

🌌天文学

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⚗化学

–

🦉哲学

✓

🗺地理学

–

🌿生態学

–

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Question

完全数とは何ですか？

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