複素数は、実部と虚部の 2 つの部分からなる。虚数単位 i は i² = -1 を満たす。すべての実数は b = 0 の複素数とみなせる。複素数は 1 次元の直線ではなく 2 次元の平面を埋め尽くし、そのおかげでどんな多項式方程式も次数と同じ数だけ根をもつ。
i を掛けることは反時計回りに 90 度回転することに相当する。i を 2 回掛ける、すなわち i² を掛けることは 180 度回転であり、1 を -1 に送る。したがって i² = -1 は代数上のトリックではなく、回転を表している。
実数の上では x²+1=0 に解はない。複素数の上では i と -i の 2 つの解をもつ。代数学の基本定理は、複素数まで拡張すれば、n 次多項式は重複度込みで正確に n 個の根をもつと述べている。
実数上の多項式と複素数上の多項式を比較し、n 次多項式が複素数の上では正確に n 個の根をもつことを示す表。
| 多項式 | 実数解 | 複素数では |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 個（x=3） | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 個（±2） | 2 |
| x² + 1 = 0 | 実数解なし | 2 個（±i） |
| x³ - 1 = 0 | 実数解 1 個 | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 実数解なし | 4 |
| 任意の n 次多項式は、重複度込みでちょうど n 個の複素根をもつ |
複素数は、i² = -1 を満たす i を導入することで、実数直線を 2 次元平面へ拡張する。複素数 z = a + bi は実部 a、虚部 b、絶対値 |z| = sqrt(a² + b²)、偏角 arg(z) をもつ。e^(iθ) を掛けることは θ ラジアンだけ回転することに対応する。代数学の基本定理によれば、n 次多項式は重複度込みで正確に n 個の複素根をもつ。複素数は量子力学、信号処理、オイラーの恒等式の基盤である。