エルデシュ＝ボルヴァイン定数 E は、1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ という和である。分母はメルセンヌ数 2ⁿ − 1 である。ポール・エルデシュは 1948 年、2 進表示の初等的性質だけを用いて E が無理数であることを証明した。
部分和は E ≈ 1.6066951524 にすばやく収束する。分母 2^n−1 は幾何級数的に増大するため、バーゼル問題よりはるかに速く収束する。
この級数は幾何級数的に速く収束する。各項はおおよそ前の項の半分である（大きな n では 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ だから）。わずか 20 項で和は小数第 6 位まで正確になる。E = Σ d(n)/2ⁿ（ここで d(n) は n の奇数約数の個数）という等式は、これを約数論と結び付ける。
E が超越数かどうかは未解決である。エルデシュの無理性証明が印象的なのは、その簡潔さにある。分母 1、3、7、15、31… の 2 進表示が 1、11、111、1111、11111… という特別な形をしており、その構造のために和が有理数になれないことを利用した。値は 1.60669515245214159769492939967985…
各分母 2^n - 1 は前のものの約 2 倍である。和は E ≈ 1.6066951524 に収束する。
エルデシュ＝ボルヴァイン定数 E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669。ポール・エルデシュは 1948 年、分母 2^n - 1 の 2 進表示の性質を用いてこれが無理数であることを証明した。E は d(n)/2^n の総和にも等しい（d(n) は n の奇数約数の個数）。級数は急速に収束し、各項はほぼ前の項の半分になる。超越数かどうかは未解決である。値：1.60669515245214159769492939967985...