任意の直角三角形では、斜辺（直角の向かいの辺）の上の正方形の面積は、他の 2 辺の上の正方形の面積の和に等しい。直角辺を a と b、斜辺を c とすると、a² + b² = c² である。3-4-5 の三角形なら 9 + 16 = 25 になる。
a² + b² = c²。3-4-5 の三角形では 9 + 16 = 25。青と赤の正方形の面積を合わせると、緑の正方形の面積に等しい。
紀元前 1900 年ごろのバビロニアの粘土板には、(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17) などのピタゴラス数が記されており、この関係がピタゴラス以前から経験的に知られていたことが分かる。ピタゴラス学派（紀元前 570 年ごろ）は最初の証明を与えた。現在では、代数的、幾何学的、三角関数的なものを含め 370 を超える異なる証明が知られ、1876 年にはアメリカ大統領ジェームズ・ガーフィールドによる証明も発表された。
ピタゴラス数の表
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
n 次元では、原点から点 (x₁, x₂, …, xₙ) までの距離は √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²) で与えられる。フェルマーの最終定理（アンドリュー・ワイルズが 1995 年に 358 年越しで証明）は、n が 2 を超えると aⁿ + bⁿ = cⁿ に整数解が存在しないことを示す。ピタゴラスの定理は、無限に多くの整数解を持つ n=2 の場合である。
どちらの大きな正方形も (a+b)×(a+b) である。どちらにも同じ 4 つの直角三角形が入っている。左に残る面積は c²、右に残る面積は a²+b² なので、両者は等しい。
任意の直角三角形に対して a^2 + b^2 = c^2 が成り立つ。紀元前 1800 年ごろにはバビロニア人が経験的に知っており、紀元前 570 年ごろにピタゴラス学派が初めて証明した。現在では 370 を超える異なる証明が知られ、1876 年にはアメリカ大統領ジェームズ・ガーフィールドによる証明もある。整数解はピタゴラス数と呼ばれ、すべて (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) の形で生成できる。ワイルズが 1995 年に証明したフェルマーの最終定理は、指数が 2 を超えると同様の整数解が存在しないことを示す。この定理は n 次元ではユークリッド距離の公式に一般化される。