どんな実数にも最良の有理近似があり、それらは分母がより小さい分数よりも元の数に近い。では、その分母 q₁, q₂, q₃, … はどのくらいの速さで増えるのか。1935 年、ポール・レヴィは、ほとんどすべての実数で ln(qₙ)/n が β に収束することを示した。
ほとんどすべての実数では ln(qₙ) は傾き β ≈ 1.1865 の直線的成長を示す。π の分母は部分商 292 のため平均より速く増える。
黄金比 φ = [1;1,1,1,…] の収束分数の分母はフィボナッチ数 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … となり、成長率は φ ≈ 1.618 である。これは e^β ≈ 3.276 よりかなり遅い。だから φ は「もっとも無理数らしい」数であり、近似の改善が平均よりも遅く進む。
黄金比と典型的な数の分母成長率の比較。
| φ = [1;1,1,1,…] | 典型的な数 |
|---|---|
| qₙ は φⁿ ≈ 1.618ⁿ で増える | qₙ は (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ で増える |
| 可能な中で最も遅い成長 | レヴィの定理 |
β = π²/(12 ln 2) という値は、ガウス＝クズミン分布を積分すると現れる。ln 2 は 2 進的な情報に由来し、π² は ζ(2) = π²/6 と同じ源から現れる。レヴィ定数の値は 1.1865691104156254…、そして e^β = 3.275822918721811… である。
5 段目の部分商 292 により、π の分母は平均よりはるかに速く増える。典型的な数では ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187。
| n | 部分商 aₙ | 収束分数 pₙ/qₙ | 分母 qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
レヴィ定数 β = π^2/(12 ln 2) ≈ 1.18657。ほとんどすべての実数に対し、n 番目の収束分数の分母 q_n は q_n^(1/n) → e^β ≈ 3.27582 を満たす。1935 年にポール・レヴィが証明した。フィボナッチ分母をもつ黄金比は成長率 φ ≈ 1.618 と平均よりかなり低く、これが φ を近似しにくい数にしている。π と ln 2 が同じ定数に現れるのは、連分数分布の深い構造を反映している。