√2 は単位正方形の対角線の長さである。一辺の長さが 1 の正方形を考えると、向かい合う頂点どうしの距離はちょうど √2 になる。これはピタゴラスの定理 1² + 1² = (√2)² による。
紀元前 500 年ごろ、ピタゴラス学派は √2 が p/q（p, q は整数）という分数で表せないことを発見した。背理法による証明は美しい。√2 = p/q を既約分数と仮定すると、2q² = p² だから p² は偶数、したがって p も偶数で p = 2k と書ける。すると 2q² = 4k² なので q² = 2k²、ゆえに q も偶数になる。これは p/q が既約という仮定に反する。したがって √2 は無理数である。
連分数 [1; 2, 2, 2, …] の近似分数。各分数はその分母までで最良の有理近似になる。
連分数から得られる √2 の近似分数
| 分数 | 小数 | 誤差 |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 は x² = 2 を満たす代数的数だが、無理数である。三角法では sin(45°) = cos(45°) = 1/√2。A 判用紙（A4、A3、A2…）は 1:√2 の比を使うので、半分に折っても同じ比率が保たれる。値の冒頭は 1.41421356237309504880168872…
各直角三角形は、一方の辺が前の斜辺、もう一方が 1 である。斜辺の長さは √1、√2、√3、√4、√5… と続く。その大半は無理数である。√2（赤）は、ピタゴラス学派によって初めて無理数だと証明された。
2 の平方根は約 1.41421356237309504880 である。古代ギリシャ人によって紀元前 500 年ごろに無理数であることが初めて証明された数である。x² = 2 を満たす代数的数でもある。単位正方形の対角線の長さとして現れ、平均律の音楽（半音ごとに周波数が 2 の 12 乗根倍になる）、A 判用紙の比率、直角二等辺三角形のピタゴラスの定理などに現れる。
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the continued fraction.