関数 e^(−x²) は釣鐘曲線であり、x = 0 で 1 に達し、左右対称に 0 へ落ちていく。この曲線の下面積を実数全体で積分すると、正確に √π ≈ 1.7724 になる。ふつう別々に現れる e と π が、ここでは 1 つの積分の中で結びつく。
e^(−x²) を全実数で積分すると √π ≈ 1.7725 になる。これがガウス積分である。これを √(2π) で割ると標準正規分布が得られる。
証明は数学でもっとも美しい技巧の一つである。I = ∫e^(−x²)dx とおき、I² を x と y に関する二重積分として書く。そこから極座標 r, θ に変換すると、被積分関数は e^(−r²)、面積要素は r·dr·dθ になる。角度の積分で π が生まれ、半径方向の積分は 1/2 になり、最終的に I² = π、したがって I = √π が得られる。
正規分布、中心極限定理、量子力学のガウス波束、階乗のスターリング近似などは、すべてこの積分に支えられている。e^(−x²) を積分する場面では、ほとんど必ず √π が現れる。
ガウス積分は ∫_{−∞}^{∞} e^(−x^2) dx = √π という公式である。証明では積分を二乗し、極座標へ変換して正確に評価する。この計算は正規分布の正規化に不可欠で、確率密度 (1/√(2π))e^(−x^2/2) が 1 に積分される理由を与える。ガウス関数は量子力学、熱拡散、スターリング近似、統計学に広く現れる。