リーマンゼータ関数は ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ で定義される。オイラーは実数の場合を研究し、ζ(2) = π²/6（バーゼル問題）や、素数全体にわたる積表示 ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) を見つけた。リーマンは 1859 年の画期的な論文で、この関数を複素数にまで拡張した。
ゼータ関数の整数値の表
| s | ζ(s) | 正確な形 |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | 不明、アペリー |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | 自明 な零点 |
リーマンの重要な洞察は、ζ(s) を複素数 s に拡張すると、非自明零点（0 < Re(s) < 1 で ζ(s)=0 となる点）が素数の分布を支配するということだった。各零点は素数計数関数に振動を与える。リーマンは 1859 年、すべての非自明零点が直線 Re(s) = 1/2 上にあると予想した。これがリーマン予想である。
10 兆個を超える非自明零点が Re(s) = 1/2 上にあることは検証されているが、反例は一つも見つかっていない。クレイ数学研究所は、証明または反証に 100 万ドルの賞金をかけている。証明されれば、素数分布の誤差に対する最良の評価が得られる。リーマン予想は 165 年以上未解決のままである。
リーマンゼータ関数は、zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s) という対称性を満たす。これにより、zeta は s = 1 を除くすべての複素数 s に拡張され、s における値と 1-s における値が結びつく。これによって、非自明零点が対をなして現れることも分かる。s が零点なら、1-s も零点である。s = -2, -4, -6, ... の自明な零点は sin(pi*s/2) の因子から生じる。
リーマンゼータ関数は zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... である。オイラーは偶数整数での値を求め、zeta(2) = pi^2/6、zeta(4) = pi^4/90 を得た。リーマンは 1859 年に複素数 s へ拡張し、すべての非自明零点が Re(s) = 1/2 上にあると予想した。これがリーマン予想であり、165 年以上未解決で、100 万ドルのクレイ賞問題でもある。10 兆個を超える零点が臨界線上にあることは確認されている。零点は素数分布を支配し、それぞれが素数計数関数に振動を与える。