数学では、前の体系を拡張する形で 5 つの主要な数体系が築かれてきた。どの拡張も、もともと解を持たなかった方程式から生まれた。「3-5 は何か？」が整数を、「1/3 は何か？」が有理数を、「√2 は何か？」が実数を、「√(-1) は何か？」が複素数を必要とした。
数体系を拡張したときに加わる性質と変化する性質の表
| 体系 | 得られるもの | 失われるもの／変わるもの |
|---|---|---|
| N：自然数 | 数えること、+、× | 減法はできない |
| Z：整数 | 減法、負の数 | 除法はできない |
| Q：有理数 | 除法、分数 | √2 は含まれない |
| R：実数 | 極限、√2、π | √(-1) は含まれない |
| C：複素数 | すべての多項式の根 | 代数的閉体 |
| H：四元数 | 3次元回転 | ab ≠ ba |
| 各拡張は単なる言い換えではなく、本当の拡大である |
青：自然数 ℕ。緑は 0 を加える。紫は負の整数を含む ℤ へ拡張する。橙は分数 ℚ を加える。赤は残りの実数 ℝ を埋める無理数である。
数学の主要な数体系は、自然数 N（数えるだけ、減法なし）、整数 Z（減法と負の数を追加）、有理数 Q（除法を追加）、実数 R（極限と無理数を追加）、複素数 C（√(-1) を追加）の 5 つである。各拡張は、前の体系では解けなかった方程式を解くために導入された。複素数は代数的閉体であり、すべての多項式方程式は C の中に解を持つ。包含関係は厳密で、N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C が成り立ち、超越数は R の外側の大部分を占めている。