無限とは？
|N| = |Z| = |Q| < |R|
数え上げ可能な無限は、非可算無限より厳密に小さい
無限は一種類ではない。ゲオルク・カントールは 1874 年、一部の無限は他の無限より本当に大きいことを示した。整数、分数、偶数全体はすべて同じ大きさの可算無限だが、実数全体はそれより大きい非可算無限である。
カントールの対角線論法：実数を一覧にできない理由
無限の大きさ：厳密な階層
自然数、整数、有理数はすべて可算無限で、互いに一対一対応がとれる。実数は非可算無限であり、これらより厳密に大きい。両者の間に何かあるかを問うのが連続体仮説である。
ヒルベルトのホテル：部屋が無限にある満室ホテルにもまだ空きがある
無限の要点
カントールは 1874 年、すべての無限が同じ大きさではないことを証明した。自然数、整数、有理数は可算無限であり、一覧にできる。実数は非可算無限であり、対角線論法により完全な一覧は存在しない。さらに任意の集合の冪集合は元の集合より厳密に大きい濃度をもち、無限の階層が生まれる。連続体仮説、つまり可算無限と実数の無限のあいだに別の濃度があるかどうかは、集合論の中心問題の一つである。
Question
アレフ・ゼロとは何ですか？
tap · space
1 / 10