ある数が無理数であるとは、それを整数 p, q を用いた分数 p/q として表せないことを意味する。小数展開は終わらず、しかも周期的に繰り返さない。√2、π、e、φ はみな無理数である。これらは例外ではなく、実数全体のほとんどを占めている。
青は有理数（正確な分数）、赤は無理数（非周期の無限小数）。任意の 2 つの有理数の間には無理数があり、その逆も成り立つ。
有限小数や循環小数をもつ有理数と、非周期で終わらない無理数を比較する表。
| 有理数：終わるか循環する | 無理数：決して繰り返さない |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | √2 = 1.4142135... |
| 有限小数 | 規則なし、終わらない |
| 1/3 = 0.3333... | π = 3.1415926... |
| 循環ブロック {3} | 規則なし、終わらない |
有理数は無限個あるが一覧にできる（可算）。無理数は一覧にできない。実数を無作為に 1 つ選んだとき、それが有理数である確率は正確に 0 である。
無理数とは、整数 p, q を用いた分数 p/q で表せない数である。小数展開は終わらず、周期的にもならない。紀元前 500 年ごろ、ピュタゴラス学派は √2 が無理数であることを示し、当時は衝撃的な発見だった。1761 年にランベルトが π の無理性を、1737 年にオイラーが e の無理性を証明した。有理数は可算無限だが、無理数は非可算であるため、実数のほとんどすべては無理数である。