連分数は、ある数を整数と、別の連分数の逆数との和として表す。すべての実数は一意の連分数展開をもつ。有理数は有限で終わり、二次無理数は周期的に繰り返し、π のような超越数にははっきりした規則がない。途中で打ち切って得られる収束分数は、その大きさの分母をもつ有理数の中で最良近似になることが証明されている。
φ、√2、e、π の連分数を比較し、周期的なものと不規則なものを示す表。
| 定数 | 連分数表記 | 型 |
|---|---|---|
| φ | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | 周期的 |
| √2 | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | 周期的 |
| √3 | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | 周期的 |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | 規則あり |
| π | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | 規則なし |
| 定理：連分数が周期的であるのは、その数が二次無理数である場合に限る（ラグランジュ、1770年） | ||
| φ は最も近似しにくい。すべて 1 からなる連分数は可能な限り遅い収束を与える |
π の収束分数を並べ、小さな分母で精度が急速に上がることを示す表。
| 収束分数 | 小数 | 誤差 |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 は 3 桁の分母しかないのに小数第6位まで正しい |
3、22/7、333/106、355/113、103993/33102 は π を上下から交互に近似する。どれも、その分母以下では最良の有理近似である。
すべての実数は一意の連分数展開をもつ。有理数は有限展開をもち、二次無理数（√2 や φ など）は最終的に周期的な展開をもつ。π のような超越数には明確な規則がない。連分数の収束分数は最良の有理近似であり、22/7 や 355/113 は π の収束分数として、それぞれ小数第 2 位と第 6 位まで一致する。φ = [1; 1, 1, 1, ...] は最も近似しにくい数であり、厳密な意味で「もっとも無理数らしい」数である。