調和級数は、すべての単位分数を足した級数である。各項 1/n は 0 に近づくので収束しそうに見えるが、実際には収束しない。証明は項のグループ分けでできる。1/3+1/4 > 1/2、次に 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2、というように、各グループは少なくとも 1/2 を足し続けるからである。
H(n) と ln(n) は一緒に増え、その差は常におよそ γ ≈ 0.5772 である。どちらも発散するが、H(n)=100 に達するには約 10^43 項が必要。
H(n)=100 に達するには約 10^43 項が必要。観測可能な宇宙の原子数よりも多い。
調和級数 1 + 1/2 + 1/3 + ... は発散する。14 世紀ごろ、ニコル・オレームがグループ分けによる証明を与えた。各項は 0 に近づくのに、和はどんな上界も超えてしまう。部分和は ln(n) + γ のように増え、γ ≈ 0.5772 はオイラー＝マスケローニ定数である。100 万項足しても和は約 14 しかない。100 に達するには 10^43 項以上が必要である。交代級数 1 - 1/2 + 1/3 - ... は ln 2 に収束する。