La constante de Gelfond est e élevé à la puissance π. Sa valeur approchée est 23,14069263277927… Prouver sa transcendance constituait le 7e problème de Hilbert, posé en 1900 comme l'une des 23 questions non résolues les plus importantes du XXe siècle. Alexander Gelfond l'a résolu en 1934.
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
Le théorème de Gelfond-Schneider (1934) énonce : si a est algébrique, différent de 0 et de 1, et si b est algébrique et irrationnel, alors a^b est transcendant. La constante de Gelfond e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Ici a = −1 (algébrique) et b = −i (algébrique et irrationnel). Le théorème s'applique directement.
Table showing examples of numbers proved transcendental by Gelfond-Schneider
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
La quasi-coïncidence numérique e^π − π ≈ 19,9990999 n'a aucune explication mathématique connue. C'est probablement une coïncidence, mais des coïncidences similaires (comme la constante de Ramanujan) s'avèrent parfois avoir des raisons profondes. e^π a été calculé à des millions de décimales : 23,14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
La constante de Gelfond e^pi ≈ 23,14069. Prouver sa transcendance constituait le 7e problème de Hilbert (1900). Gelfond l'a résolu en 1934 : si a est algébrique (ni 0, ni 1) et b est algébrique et irrationnel, alors a^b est transcendant. Puisque e^pi = (-1)^(-i), et que -1 et -i sont algébriques avec -i irrationnel, le théorème s'applique. La quasi-coïncidence e^pi - pi ≈ 19,999 n'a aucune explication mathématique connue.