Une fraction continue exprime un nombre comme un entier plus l'inverse d'une autre fraction continue. Tout nombre réel a un développement en fraction continue unique. Les nombres rationnels terminent ; les irrationnels quadratiques se répètent périodiquement ; les transcendants comme pi n'ont aucun motif. Les convergentes (approximations rationnelles obtenues par troncature) sont de manière prouvée les meilleures approximations rationnelles avec un dénominateur de cette taille.
Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
| CONSTANT | CF NOTATION | TYPE |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodic |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodic |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodic |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | pattern |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | no pattern |
| Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770) | ||
| phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence |
Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
| CONVERGENT | DECIMAL | ERROR |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator |
Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.
Tout nombre réel a un développement en fraction continue unique. Les nombres rationnels ont des développements finis. Les irrationnels quadratiques (comme sqrt(2) et phi) ont des développements finalement périodiques. Les transcendants comme pi n'ont aucun motif. Les convergentes d'une fraction continue sont les meilleures approximations rationnelles : 22/7 et 355/113 sont des convergentes de pi, l'approchant à 2 et 6 décimales respectivement. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] est le nombre le plus difficile à approcher, ce qui en fait le plus irrationnel au sens précis.