Starting from x=0.5, repeatedly applying e^(−x) converges to Ω ≈ 0.5671. The fixed point satisfies Ω = e^(−Ω), equivalently Ω·e^Ω = 1.
| Iteration | x | e^(−x) | |x − Ω| |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.5 | 0.60653 | 0.067 |
| 2 | 0.60653 | 0.54545 | 0.022 |
| 3 | 0.54545 | 0.57970 | 0.008 |
| 4 | 0.57970 | 0.56007 | 0.003 |
| 5 | 0.56007 | 0.57121 | 0.001 |
| … | … | … | → 0 |
| ∞ | Ω | Ω | 0 |
Omega peut etre calculee par la methode de Newton appliquee a f(x) = x*e^x - 1, ou par l'iteration simple Omega(n+1) = e^(-Omega_n), qui converge a partir de tout point de depart positif. En partant de 1,0, on obtient : 0,3679, 0,6922, 0,5002, 0,6065, 0,5452, ... convergeant vers Omega ≈ 0,56714. Environ 10 iterations donnent 6 decimales correctes.
Omega satisfait la tour infinie : Omega = e^(-e^(-e^(-...))). Un empilement infini d'exponentielles negatives converge vers Omega. Cela decoule directement de la formule d'iteration : le point fixe de x associe a e^(-x) est exactement Omega.
La constante Omega satisfait Omega * e^Omega = 1, donc Omega ≈ 0,56714. C'est la valeur de la fonction W de Lambert en 1, et elle satisfait e^(-Omega) = Omega. L'iteration simple Omega_nouveau = e^(-Omega_ancien) converge a partir de toute valeur de depart positive. Omega est transcendante. Elle satisfait la tour infinie Omega = e^(-e^(-e^(-...))). Elle apparait dans l'analyse des algorithmes et les solutions des equations differentielles a retard.